로또 확률의 이해 — 814만분의 1은 어떤 숫자일까

"로또 1등 확률은 벼락 맞을 확률보다 낮다"는 말, 한 번쯤 들어보셨을 겁니다. 정확히 얼마나 낮은 걸까요? 이 글에서는 로또 6/45의 확률이 어떻게 계산되는지, 그리고 번호 선택을 둘러싼 흔한 오해들을 통계의 눈으로 살펴봅니다.

1등 확률은 어떻게 계산될까

로또 6/45는 45개의 숫자 중 6개를 뽑습니다. 순서는 상관없으므로, 가능한 조합의 수는 고등학교에서 배우는 조합(combination) 공식으로 계산합니다.

즉, 내가 고른 6개 번호가 당첨번호와 정확히 일치할 확률은 8,145,060분의 1입니다. 매주 1게임씩 구매한다고 가정하면, 확률적으로 1등에 당첨되기까지 평균 15만 년 이상이 걸리는 셈입니다. 물론 확률은 "평균적인 경향"일 뿐이라 다음 주에 당첨되는 사람도 분명히 존재합니다. 매주 수백만 게임이 팔리기 때문입니다.

등수별 당첨 확률

5등(5,000원)조차 45게임에 1번꼴입니다. 1게임 1,000원씩 45,000원을 쓰면 평균적으로 5,000원 한 번을 건지는 정도이니, 기대수익률 관점에서 로또는 명백히 손해 보는 게임입니다. 복권 판매액의 절반가량만 당첨금으로 돌아가고 나머지는 복권기금(공익사업)으로 쓰이기 때문입니다.

흔한 오해 1 — "자주 나온 번호가 또 나온다"

추첨기는 매회 독립적으로 작동합니다. 지난주에 7이 나왔다는 사실은 이번 주 7이 나올 확률에 아무 영향을 주지 않습니다. 이를 무시하는 것이 유명한 도박사의 오류(Gambler's Fallacy)입니다. "한동안 안 나온 번호가 나올 때가 됐다"는 반대 방향의 믿음도 마찬가지로 근거가 없습니다.

그런데도 역대 출현 빈도를 보면 번호마다 횟수 차이가 제법 나 보입니다. 이는 이상한 일이 아니라, 무작위 추첨을 1,200회 넘게 반복하면 자연스럽게 생기는 통계적 편차입니다. 회차가 쌓일수록 각 번호의 출현 비율은 평균으로 수렴해 갑니다(큰 수의 법칙). 행운수집기의 번호 출현 통계는 이런 편차를 재미로 살펴보는 용도이지, 예측 도구가 아닙니다.

흔한 오해 2 — "수동이 자동보다 유리하다"

어떤 조합이든 확률은 정확히 8,145,060분의 1로 동일합니다. 1, 2, 3, 4, 5, 6 같은 "말도 안 되는" 조합도 지난주 당첨번호와 똑같은 조합도 확률은 같습니다. 다만 한 가지 실용적인 차이는 있습니다. 당첨됐을 때 나눠 갖는 사람 수입니다. 생일 숫자(1~31), 유명한 배열, 지난 회차 번호처럼 많은 사람이 고르는 조합은 1등이 여러 명 나와 당첨금이 쪼개질 가능성이 상대적으로 높습니다. 당첨 확률을 높일 방법은 없지만, "당첨 시 기대 금액"은 남들이 덜 고르는 조합 쪽이 아주 약간 유리할 수 있다는 정도가 통계적으로 말할 수 있는 전부입니다.

흔한 오해 3 — "많이 사면 남는 장사가 된다"

구매 게임 수를 늘리면 당첨 확률 자체는 정직하게 비례해서 올라갑니다. 10게임을 사면 1등 확률은 814,506분의 1이 됩니다. 하지만 기대수익률(약 -50%)은 그대로이므로, 많이 살수록 평균 손실액도 그만큼 커집니다. 확률을 "의미 있게" 올리려면 수십만 게임을 사야 하는데, 그 비용이 기대 당첨금을 훌쩍 넘어섭니다.

그래서, 로또를 어떻게 대해야 할까

수학적으로 로또는 투자가 아니라 오락입니다. "당첨되면 뭘 할까" 상상하는 즐거움에 1,000원을 지불하는 것이라고 생각하는 편이 건강합니다. 행운수집기가 번호 생성을 게임으로 만든 것도 같은 이유입니다 — 번호를 뽑는 과정 자체가 재미있다면, 결과와 무관하게 이미 본전은 뽑은 셈이니까요.